Na 8. evropskem kongresu matematike bo letos prvič tudi sekcija namenjena didaktiki matematike. Organizacijsko in programsko koordinacijo minisimpozija Matematika v izobraževanju je prevzela skupina didaktikov matematike s Pedagoške fakultete Univerze na Primorskem (UP PEF), prof. dr. Amalija Žakelj, prodekanja za študijske zadeve UP PEF in koordinatorica minisimpozija Matematika v izobraževanju, prof. dr. Mara Cotič, dekanja UP PEF, ter izr. prof. dr. Darjo Felda, prorektor UP. Vsem trem je skupno oranje ledine na področju didaktike matematike v Sloveniji; o tem področju predajajo znanje bodočim učiteljem razrednega pouka, ki študirajo na fakulteti. So tudi avtorji številnih učbenikov in didaktičnih gradiv s področja matematike.

Vsi trije ste specializirani za didaktiko matematike. Pa lahko najprej laično pojasnite, kaj je didaktika matematike?

Felda: Didaktika matematike je znanstvena disciplina, ki išče načine, kako naj otrok, mladostnik ali tudi odrasel človek pobliže spozna matematiko kot del stvarnosti oziroma kot abstrakcijo, ki izhaja iz stvarnosti. Ker se velika večina ljudi ne ukvarja z matematiko kot znanostjo, je potrebno pri poučevanju in učenju matematike v osnovni in tudi v srednji šoli izhajati iz vsakdanjega življenja ob uporabi konkretnega materiala oziroma didaktičnih pripomočkov, ki kažejo na uporabnost matematike in ki hkrati pomagajo pri razumevanju abstraktnih pojmov.

prof.dr. Amalija Žakelj

Žakelj: Naj povem preprosteje, didaktika matematike pove, kako poučevati matematiko in med drugim uči, kako učence motivirati in usmerjati k samostojnemu učenju, jih navdušiti za matematiko ter jim odpreti obzorja, da se bodo matematiki lahko čudili in jo imeli radi.

Cotič: Didaktika matematike mlada je znanost, ki se je v svetu intenzivneje začela razvijati šele v 20. stoletju. Pomembno je vedeti, da je bilo za matematiko v začetku število. Tako njene prve začetke "vidimo" v štetju, v nastanku pojma "abstraktno naravno število", v izoblikovanju imen in znamenj za števila in pozneje v prvih korakih k elementarnemu računanju s tako vpeljanimi števili. Vse do srede 20. stoletja se je pouk omejeval zgolj na potrebo, da se učencu nudi nepogrešljive instrumente za praktične aktivnosti; torej je šlo le za spoznavanje potrebnih tehnik za štiri osnovne računske operacije. Učenci so se torej učili samo "praktične" aritmetike. Geometrija ter ostala področja matematike so bila manj pomembna.

Po drugi strani se danes pri didaktiki matematike zelo poudarja, da je pri začetnih učenčevih korakih v svet matematike še posebej pomembna nepretrgana povezava s poukom drugih disciplin. Potreba in vrednost poučevanja in učenja matematike ni namreč samo v usvajanju njenih vsebin in metod, ampak je bistveni razlog za poučevanje in učenje matematike njena pomembnost pri razvoju celovite osebnosti učenca, ob tem pa je seveda matematika koristno orodje v življenju vsakega človeka, tako odraslega kot tudi otroka ali mladostnika.

Didaktik matematike mora torej imeti dobro matematično znanje ter se konstantno izpopolnjevati tudi na področjih pedagoških ter psiholoških znanosti?

Žakelj: Seveda. Didaktik matematike mora imeti odlično matematično znanje, saj lahko le na teh temeljih razvije za otroke in učence učinkovite pristope učenja in poučevanja matematike. Dobro mora poznati tudi razvijanje matematičnih vsebin in pojmov; razumeti mora temeljne koncepte matematike. Poleg vsega tega pa mora imeti tudi željo, da dela z otroki in si pridobiti pedagoška in psihološka znanja, ki so potrebna za delo z učenci, dijaki in s študenti. Tako kot se matematika kot znanstvena disciplina stalno razvija, se vzporedno razvija tudi didaktika matematike; raziskuje in posodablja pristope učenja in poučevanja matematike po vsej vertikali, od predšolskega do univerzitetnega izobraževanja.

izr. prof. dr. Darjo Felda

Cotič: Vsak didaktik matematike bi moral poučevati v šoli, preden začne delati na fakulteti. Samo na tak način se teorija oplemeniti, saj je didaktika matematike brez njene uporabe v šoli mrtva znanost. Mi trije smo na primer prej kar nekaj let učili na različnih šolah. Nujne so namreč neposredne izkušnje v razredu, začutiti moraš razred in vsakega učenca ter razumeti, da tam nisi le zaradi znanja matematike. Pri učencu ne razvijaš samo kognicije, ampak je nujen tudi konativni in afektivni razvoj.

Raziskave kažejo, da je matematika veliko bližja učencem v nižjih razredih osnovne šole, kasneje navdušenje nad matematiko pogosto upade. Kje vidite razlog za ta upad navdušenosti nad matematiko?

Žakelj: V nižjih razredih osnovne šole pouk matematike v večji meri kot kasneje izhaja iz otrokovega vsakdanjega življenja. Raziskave kažejo tudi, da posameznik veliko bolje razume matematiko, če izhaja iz konkretne izkušnje. To prakso bi lahko pogosteje obdržali tudi v srednji šoli. V višjih razredih osnovne šole se žal prepogosto prehitro preide na abstraktno raven.

Cotič: Navdušenost za matematiko v največji meri upade zato, ker ne izhajamo iz učenčevega sveta in matematiko poučujemo kot spisek receptov. Problemska situacija, ki izhaja iz učenca, ima veliko prednosti. Učenec je namreč notranje motiviran, da reši problem, ki izhaja iz te situacije, saj je v le-to vpleten na osebni ravni. Zato vloži v reševanje maksimalne napore in zaposli vse svoje sposobnosti.

Felda: Zaradi napačnega pristopa k podajanju matematičnih znanj v višjih razredih osnovne šole navdušenje nad matematiko uplahne, ker se učenec znajde v nekem tujem, neznanem okolju. V začetnih letih šolanja je poznal situacijo, v kateri je spoznaval matematične pojme in zakone, le-te je lahko sproti med seboj povezoval in gradil matematično znanje. Sčasoma pa se kopičijo neka pravila, ki si jih skuša zapomniti, a v njih ne vidi smisla in zato obležijo nekje ob izgrajenem znanju. Včasih ima srečo, da pravilno uporabi "obležano" pravilo in reši nalogo, a se sam ne zaveda, zakaj je bilo uporabljeno pravilo ustrezno. Pri pouku bi vsekakor morali izhajati iz problemske situacije, ki jo učenec razume, jo poskuša reševati in v postopku reševanja s pomočjo učitelja spoznava nove pojme in koncepte. Tako pridobljena znanja so trdnejša, neposredno so povezana s predhodnimi znanji, ki jih je učenec vključeval v razreševanje problemske situacije, in predstavljajo nadgradnjo predhodnih znanj. Povsem so zgrešene metode učenja matematike, po katerih je potrebno najprej postaviti "definicijo" neke nove vsebine in nato le-to uporabljati v reševanju problemov, učitelj pa svojo krivdo za slabo poučevanje zvali na učence, češ da niso naredili dovolj vaj. Bistri in delavni učenci, ki jih matematika kot taka ne zanima preveč, so po navadi uspešni na preizkusih znanja, ki sledijo obravnavi določene matematične vsebine, precejšnje razočaranje pa pokažejo po nacionalnih preizkusih znanja, ko ne najdejo strategije za rešitev preprostih problemov iz življenjskih situacij.

prof. dr. Mara Cotič

Kako bi otroku, ki mu matematika ni blizu oz. zanjo ni motiviran, le-to približali?

Cotič: Tukaj bi citirala velikega matematika Lobačevskega: "Če v matematiki, ki je tako lastna človeškemu razumu, mnogi ne dosežejo uspeha, je treba to upravičeno pripisati pomanjkljivostim v umetnosti in načinu poučevanja." Iz tega razloga je nujno, da učitelj diferencira in individualizira pouk. Od vsakega učenca naj zahteva toliko, kolikor le-ta zmore in razume. Zato je treba razvijati različne didaktične oblike, ki bodo upoštevale posebnosti in razlike v hitrosti otrokovega razvoja, njegovo nadarjenost in hitrost napredovanj. Matematika naj učencem zagotavlja dvoje: izziv in občutek uspeha. To pomeni, da vsak učenec pridobi kar se da največ. Ne smemo pa od njega zahtevati toliko, da bo neuspeh njegova prepogosta izkušnja.

Felda: Če učence pripravljamo na življenje, da bodo lahko samostojno delovali v osebnem, profesionalnem in socialnem okolju, se je potrebno zavedati, da bodo zasedali najrazličnejša mesta v bodoči družbi, saj bodo sledili svojim idealom, interesom, zmožnostim in priložnostim. Eni bodo za svoje delovanje v družbi potrebovali več, drugi manj matematičnega znanja, eni bodo potrebovali določene vsebine, drugi druge, zato moramo zlasti v osnovni šoli vsakega otroka matematično opismeniti, da bo nato lahko nadaljeval svojo življenjsko pot. Smešno postaja lažno prepričanje, da lahko praktično vsi učenci v osnovni šoli dosegajo najvišja znanja in da je za otroka strašen neuspeh, če nima vsaj prav dobre ocene. Gotovo predstavlja ta pomislek o neuspehu levji delež za vse tesnobne občutke ob preverjanjih znanja in za strah pred matematiko kot tako. Vemo pa, da je lahko učenec, ki dosega oceno dobro ali tudi zadostno, zelo uspešen v svojem nadaljnjem življenju in bi bil še bolj srečen in vedrega počutja, če predhodno ne bi občutil krivde za "neuspeh", ker ni znal izračunati na primer višine petstrane piramide.

Dr. Žakljeva, vi ste sodelovali pri pripravi trenutno aktualnega Učnega načrta za matematiko, vsi trije pa ste avtorji oziroma soavtorji velikega števila učbenikov ter delovnih zvezkov za matematiko za osnovno šolo. Kako taka gradiva sploh nastanejo ter kaj je vaše vodilo pri pripravi le-teh za učence?

Žakelj: Na UP PEF deluje izjemno dobra skupina didaktikov matematike, med njimi so široko prepoznani avtorji učbenikov. Zagotovo je na tem mestu potrebno omeniti prav dekanjo UP PEF, prof. dr. Maro Cotič, ki je avtorica številnih učbenikov in v slovenskem prostoru ena izmed pomembnejših avtoric učbeniških kompletov za matematiko za osnovno šolo. Seveda pa je izdelava kvalitetnih učbeniških kompletov praviloma skupinsko delo, tako da vedno poleg didaktikov matematike pri pisanju učbenikov sodelujejo tudi izkušeni učitelji. Menim, da bi moral vsak didaktik matematike, še bolje pa skupina didaktikov, ki deluje povezano, ob izgradnji teoretičnega modela učenja in poučevanja matematike, izdelati tako učbeniško gradivo za učence kot tudi študijsko gradivo za študente. Avtorji s tovrstnimi gradivi učencem, dijakom, študentom in tudi mlajšim kolegom posredujejo svoja spoznanja, vedenja in pogled, kaj in kako je potrebno, da se teorija prelije v prakso, saj je didaktika matematike v veliki meri aplikativna znanost.

Cotič: V moji bibliografiji je že kar nekaj učbenikov in delovnih zvezkov za matematiko za osnovne šole. Sicer pa morajo biti učbeniki vedno pisani za učenca, ne za učitelja. Pri pisanju učbenika moramo upoštevati tako razvojno psihologijo kot didaktiko matematike in matematiko ter kulturni prostor, v katerem učbenik nastaja. Pisanje učbenika mi vedno predstavlja velik izziv, saj pri tem uporabim vse svoje znanje in ustvarjalnost. Posebno rada oblikujem različne problemske situacije, preko katerih vpeljujem nove matematične pojme in koncepte. Pa še to: prepričanje slovenske javnosti, da so učni načrti za matematiko prezahtevni v primerjavi z učnimi načrti drugih držav, ne velja. Naši učni načrti so popolnoma primerljivi. Veliko držav pa ima celo zahtevnejše učne načrte.

Felda: Tako je, vsa učbeniška gradiva in učni načrti naj bi bili pripravljeni za učenca. Zaradi razvoja družbe in sprememb, ki se vzporedno dogajajo, je potrebno slednje spreminjati in temu prilagajati učna gradiva. Seveda pa bi morali to napraviti premišljeno in z zavedanjem, da je potrebno ob večjih spremembah najprej pripraviti učitelje, da bodo sledili novostim. Neke spremembe ad hoc največkrat povzročijo slabo voljo v vzgojno-izobraževalnem sistemu in po navadi povzročijo še nove spremembe, s katerimi se skuša popravljati predhodno narejene napake. Na žalost se v novejšem času tudi na učbenike in še posebej delovne zvezke gleda skozi prizmo dobičkarstva. Namesto strokovnosti in ustreznih didaktičnih prijemov, ki naj bi dajali vrlino tem gradivom, se pojavljajo na hitro oblikovana gradiva s strokovno oporečnimi zapisi in nepremišljeno zasnovo podajanja znanja, največkrat v smislu pomnjenja receptov.

Tudi veliki matematiki so začeli na začetku, z osnovnimi geometrijskimi in številskimi pojmi. Menite, da lahko izkušnja iz obdobja zgodnjega učenja matematike prispeva k temu, da se bo človek celo življenje ukvarjal z matematiko?

Felda: Poti do ukvarjanja z matematiko kot znanostjo je veliko - kot je vsak človek edinstven, tako je edinstvena tudi njegova življenjska pot. Nekateri bodoči znanstveniki se v mladosti izkazujejo kot uspešni tekmovalci na različnih (tudi mednarodnih) matematičnih tekmovanjih, čeprav uspeh na teh tekmovanjih še ne pomeni, da se bo tekmovalec usmeril v raziskovanje matematike. Delovne navade, natančnost pri delu, potrpežljivost, logično sklepanje in kritično mišljenje, kar vse običajno razvijejo uspešni tekmovalci, pridejo prav tudi na drugih raziskovalnih področjih. Ker pa so tekmovanja nekaj povsem drugega kot raziskovanje, ni nujno, da so bodoče uspešne raziskovalce na področju matematike sploh pritegnila matematična tekmovanja.

Žakelj: Res je, tudi najboljši rezultati na raznih tekmovanjih ne pomenijo, da bo nekdo nekoč tudi raziskovalec določenega področja. Sicer pa je učitelj tisti, čigar poslanstvo je ustvariti spodbudno učno okolje za vse učence.

Cotič: Pri nadarjenih otrocih je zelo pomembno, da učitelj vodi matematični pouk tako, da začutijo, da matematika ni že dano in zaprto znanje, temveč vselej aktivno mišljenje. Naloga učiteljev ni le prenašanje matematičnih vednosti, pač pa, da vzbujajo in spodbujajo interese, radovednosti, spoznavne potrebe. Učitelj naj nikoli ne nadomesti učenčevega angažmaja, saj bi s tem izničil formativno plat matematičnega izobraževanja. Če učenec problema ne rešuje osebno - in to se zagotovo dogaja - potem ne zorijo njegove umske sposobnosti in pristno razumevanje ter usvajanje matematičnih konceptov. Dejansko naj bi se nadarjeni učenci učili matematike, ko stopajo po poti razvoja človeškega mišljenja. Različni matematični koncepti in teorije so se pogosto razvili v situacijah, ko je bilo treba rešiti nek problem, dotedanja poznana sredstva za reševanje le-tega pa niso več zadoščala. Na enak način naj učenci razne postopke in dejstva usvojijo z lastnim (osebnim) razmislekom in konceptualizacijo. Na ta način bodo vzljubili matematiko in se veliko raje odločili za študij matematike.

Didaktika matematike pridobiva na veljavi. Na 8. kongresu matematike (8EMC) bo tudi minisimpozij Matematika v izobraževanju, katerega koordinatorica boste vi, dr. Žakljeva. Kaj je njegov namen?

Žakelj: Namen minisimpozija je združiti vodilne mednarodne raziskovalce s področja didaktike matematike in sorodnih področij ter predstaviti najnovejša znanstvena spoznanja o inovativnih pristopih učenja in poučevanja matematike, od preduniverzitetnega do univerzitetnega izobraževanja. Strokovnjaki s področja didaktike matematike bodo med drugim govorili o vlogi in pomenu matematike v izobraževanju. Glede na hiter tehnološki napredek in razvoj informacijsko komunikacijske tehnologije bodo predstavljeni tudi različni pogledi o bodočem douniverzitetnem in univerzitetnem izobraževanju matematike, kako posameznika pripraviti na uspešno razreševanje vse številnejših, še nedefiniranih problemskih izzivov jutrišnjega dne.

DF: Poudariti je potrebno še, da je relativno nedolgo tega, morda pred 20 ali 25 leti, v slovenskih matematičnih krogih veljalo prepričanje, da se morajo razredni učitelji veliko "pedagoško" izobraževati, učitelji matematike na predmetni stopnji osnovne šole manj, učitelji matematike v gimnazijah pa komaj še kaj, slednji naj bi bili zlasti matematično izobraženi. Danes je prepričanje verjetno nekoliko drugačno, a didaktika matematike se na Slovenskem še "postavlja". Morda bi bilo dobro, če bi didaktiki matematike z različnih slovenskih univerz tesneje sodelovali, saj je "raziskovalnih vprašanj s področja učenja in poučevanja matematike" v našem kulturnem prostoru veliko. V okviru Univerze na Primorskem se je oblikovala močna skupina didaktikov matematike in v veliko čast nam je, da bomo na 8. evropskem matematičnem kongresu, ki poteka pod okriljem Evropskega matematičnega društva, prvič vodili prej omenjeni minisimpozij. Prepričani smo, da bo prinesel koristno izmenjavo spoznanj, mnenj in izkušenj med didaktiki različnih držav. Upamo, da se bo področje didaktike matematike tudi v prihodnje obdržalo med področji, ki bodo obravnavana na evropskih matematičnih kongresih.

MC: Didaktika matematike kot samostojna znanstvena disciplina se je v Sloveniji začela bolj razvijati dokaj pozno, in sicer šele pred kakimi 40 leti, okoli leta 1980, kar pomeni, da je dokaj mlada, a vendarle hitro razvijajoča se disciplina. Ker bo tematika matematike v izobraževanju na evropski kongres uvrščena prvič, je to še dodatna potrditev in pohvala za slovenske didaktike matematike.

Kako kot vodilni didaktiki matematike v Sloveniji vidite vlogo matematike in didaktike matematike v bodoče? Katerim znanjem bo potrebno dati v bodoče še večji pomen, da bomo ohranili kakovosten šolski sistem?

Žakelj: Tehnološki napredek, razvoj informacijsko komunikacijske tehnologije vedno bolj vplivata na spremembe izobraževalnih praks in posledično na spremembe v razvoju didaktik. Če so bile v preteklosti izobraževalne ustanove eden glavnih "virov znanja", temu danes ni več tako, saj so informacije dostopne posamezniku tako rekoč na vsakem koraku. Prav tako se spreminjajo tudi pristopi učenja in poučevanja matematike. Danes pristopi učenja in poučevanja matematike vedno bolj temeljijo na aktivni vključenosti učenca v procesu učenja. Namen poučevanja matematike je usmerjati učence, da bodo matematiko odkrivali, osmišljali, gradili in ob tem razvijali kritično in ustvarjalno mišljenje. V bodoče bodo najbolj iskani poklici tisti, ki se bodo ukvarjali z analizo in razumevanjem podatkov, delom z umetno inteligenco, razvojem programske opreme in aplikacij, digitalizacijo, informacijsko varnostjo ipd. Šola mora zato med drugim poskrbeti, da posameznike izobrazi o vlogi in pomenu digitalnih tehnologij. Vsa ta znanja pa imajo svojo podstat v matematiki, tako da matematično znanje postaja vse bolj pomembno za gospodarski razvoj družbe in tudi za posameznikovo sodelovanje v njej. In tako kot se npr. razvija matematična znanost, se vzporedno razvija tudi didaktika matematike.

Felda: Seveda je nehvaležno napovedovati, kaj vse nas čaka v prihodnosti, a vendar se moramo zavedati, da gre pri učenju in poučevanju matematike za izgradnjo matematične kompetence in matematične pismenosti. Skozi zgodovino so se razvijali in izpopolnjevali tehnični in tehnološki pripomočki, ki so vplivali tudi na učenje in poučevanje matematike - postavili so se izzivi pred didaktiko matematike, ki je skušala iskati optimalne rešitve. Dogajale so se nezveznosti, ki so jih nekateri nekritično vpeljevali ob kaki tehnični ali tehnološki novosti, pogosto pa se je izkazalo, da taka "prehitevanja" prinesejo veliko več škode kot koristi. Ker je matematika nastala in se razvijala iz vsakdanjih potreb človeka, ki je v njej iskal strategije reševanja zagat, v katerih se je znašel, mora to prvobitno potrebo po matematiki začutiti tudi otrok, da bo uvidel njen smisel. Vsako, še tako imenitno tehnološko čudo, ne more nadomestiti osnovnega logičnega razumevanja matematike, postane lahko le koristen pripomoček pri uporabi matematike za reševanje najrazličnejših problemov. Bit vsega pa predstavlja razumno bitje - človek in prav nanj ne smemo pozabiti tudi ob pogledu v še tako digitalizirajočo se prihodnost.